Рубрика: Երկրաչափություն

1. Գտեք երկու փոփոխականով հավասարման երեք լուծումներ. x+y-5=0:
(1;4)
(0;5)
(-1;6)

2. Գրեք համակարգի հավասարումներում անհայտների գործակիցները և ազատ անդամները.{7x-y=0; {3x-y+12=0
{7x-y=0 7, (-1), 0
{3x-y+12=0 3, (-1), 12

3. Լուծեք հավասարումների համակարգը գումարման եղանակով.{2x+y-3=0; {-x-y+4=0
(2x + y — 3) + (-x — y + 4) = 0
2x — 3 — x + 4 = 0
2x — x = x
-3 + 4 = 1
x + 1 = 0
x = -1

-2 + y — 3 = 0
y — 5 = 0
y = 5

(-1;5)

4.Տեղադրման եղանակով լուծեք հավասարումների համակարգը. {y-3x=0; {x-2y+10=0
y=3x
x-2*(3x)+10=0
x-6x+10=0
-5x+10=0
-5x=-10
x=-10/-5
x=2
y=3*2
y=6
(2;6)

5. Լուծեք հավասարման համակարգը գործակիցների հավասարեցման եղանակով: {x+2y-3=0; {2x+3y=0

2*(x+3y)=0
2x+3y=0
2x+2y-3-(2x+3y)=0
2y-3-3y=0
-y=3
y=-3
x+(-6)-3=0
x=6+3
x=9

6.Գտեք ուռուցիկ հնգանկյան անկյունների գումարը:

7. Գտեք ABCD զուգահեռագծի անկյունները, եթե <B=2<A:

8. Եռանկյան կողմերը հավասար են 5սմ, 12սմ, 13սմ: Գտեք այն եռանկյան պարագիծը, որի կողմերը տրված եռանկյան միջին գծերն են:

9. Ուղղանկյուն սեղանի հիմքերն են 4սմ, 7սմ: Գտեք սեղանի մեծ սրունքը, եթե անկյուններից մեկը 60^o է:

Ուղղանկյուն

Տեսական նյութ

Սահամանում Ուղղանկյուն կոչվում է այն զուգահեռագիծը, որի բոլոր անկյուններն ուղիղ են:

Սահամնումից հետևում է, որ ուղղանկյունն օժտված է զուգահեռագծի բոլոր հատկություններով:

Ուսումնասիրենք ուղղանկյան առանձնահատկությունները:

Թեորեմ Ուղղանկյան անկյունագծերը հավասար են:

AC=BD

Ճիշտ է նաև հակադարձ պնդումը.

Ուղղանկյան հայտանիշ Եթե զուգահեռագծի անկյունագծերը հավասար են, ապա այդ զուգահեռագիծը ուղղանկյուն է:

Առաջադրանքներ

1) ABCD ուղղանկյան անկյունագծերը հատվում են O կետում: <COD=60⁰, CD=10սմ: Գտեք ուղղանկյան անկյունագծերը:

10,10,10,10

2)Գտեք ABCD ուղղանկյան պարագիծը, եթե A անկյան կիսորդը տրոհում է՝

ա) BC կողմը 45,6սմ և 7,85սմ երկարությամբ հատվածների,

45,6+7.85=52.94

P=(52.94+45,6)*2=198.1

198.1

կամ

213,8

բ) DC կողմը 2,7դմ և 4,5դմ երկարությամբ հատվածների:

2.7+4.5=7.2

7,2+2,7=11,7

11,7*2=23,4

կամ

19,8

3)Ապացուցեք, որ այն զուգահեռագիծը, որի անկյուններից մեկը ուղիղ է, ուղղանկյուն է:

Քանի որ զուգահեռագծի հանդիպակաց անկյունները իրար հավասար են, և կողմին առընթեր անկյունների գումարը 180 աստիճան է։

4)Ապացուցեք, որ եթե քառանկյան բոլոր անկյունները ուղիղ են, ապա քառանկյունը ուղղանկյուն է:

5)Ապացուցեք, որ եթե զուգահեռագծի բոլոր անկյունները հավասար են, ապա այն ուղղանկյուն է:

քառանկյան ներքին անկյունների գումարը 360 աստիճան է, բոլոր անկյունները իրար հավասար են, հավասար են 90 աստիճան է պատկերը ուղղանկյուն է։

6)ABCD ուղղանկյան անկյունագծերը հատվում են O կետում, E-ն AB կողմի միջնակետն է, <BAC=50⁰: Գտեք <AOE-ն:

40, 50

7) Ուղղանկյան անկյունագծերի հատման կետի հեռավորությունը մեծ կողմից 4սմ է, իսկ փոքր կողմից՝ 6սմ: Գտեք ուղղանկյան պարագիծը:

(12+8)*2=40

Հեռավար աշխատանք, հոկտեմբեր 19-23

 Սեղան

Տեսական նյութ

Սահմանում : Սեղան կոչվում է այն քառանկյունը, որի երկու կողմերը զուգահեռ են, իսկ մյուս երկու կողմերը զուգահեռ չեն:

Զուգահեռ կողմերը կոչվում են սեղանի հիմքեր, իսկ երկու մյուս կողմերը՝

Սեղանը կոչվում է հավասարասրուն, եթե նրա սրունքները հավասար են:

Սեղանը, որի որևէ անկյունն ուղիղ է, կոչվում է ուղղանկյուն սեղան:

Սեղանի սրունքների միջնակետերը միացնող հատվածը կոչվում է սեղանի միջին գիծ:

Թեորեմ : Սեղանի միջին գիծը զուգահեռ է հիմքերին և հավասար է նրանց կիսագումարին: էջ 12 ապ.հասկանալ գրքից:

Առաջադրանքներ 

1) Գտեք AD և BC հիմքերով սեղանի B և D անկյունները, եթե <A=36°, <C=117°:

Քանի որ նրանք առընթեռեն հիմքին հավասար են իրար։ Հետևաբար <A=<D, <C=<B

2) Հավասարասրուն սեղանի մեծ հիմքը 4մ է, սրունքը՝ 2մ, իսկ դրանց կազմած անկյունը՝ 60°: Գտեք սեղանի փոքր հիմքը:

Քանի որ այս քառանկյունը հավասարասրուն է երկրորդ սրունքը նույնպես 2մ է։ Դա նշանակում է, որ երկրորդ անկյունը նույնպես 60°: 

Սրունքներով տանում ենք բարձրություններ և ստանում ենք ուղիղ անկյուն։ Ըստ ուղղանկյուն եռանկյան հատկանիշների կարող ենք ասել, որ երրորդ անկյունը 30°: Ելնելով ուրիշ հատկանիշից կարողենք ասել, որ հիմքը հավասար է 2:2=1:

4-1-1=2

Փոքր սրունքը հավասար է 2:

3) Գտեք հավասարասրուն սեղանի անկյունները, եթե հայտնի է, որ սեղանի երկու անկյունների տարբերությունը 40° է: 

A-B=40

A+B=180

A=40+b

40+B+B=180

40+2B=180

2B=140

B=70

A=40+70

A=110

4) Ապացուցեք, որ հավասարասրուն սեղանի յուրաքանչյուր հիմքին առընթեր անկյունները հավասար են: Քանի որ սրուքնորը հավասար են նրանք կազմում են հավասար անկյուններ։ 

5) Սեղանի հիմքերը հարաբերում են, ինչպես 2:3, իսկ միջին գիծը 10սմ է: Գտեք սեղանի հիմքերը:

 Թեմա՝ Եռանկյան միջին գիծը

Տեսական նյութ

Սահամանում Եռանկյան երկու կողմերի միջնակետերը միացնող հատվածը կոչվում է եռանկյան միջին գիծ:

Թեորեմ:  Եռանկյան միջին գիծը զուգահեռ է նրա կողմերից մեկին և հավասար այդ կողմի կեսին:

Ապացույցն ինքնուրույն, որպես հետազոտական աշխատանք կամ կարող ես կարդալ դասագրքից, էջ՝ 11:

Առաջադրանքներ 

1) Եռանկյան կողմերը հավասար են 6սմ, 8սմ, 10սմ: Գտեք այն եռանկյան պարագիծը, որի կողմերը տրված եռանկյան միջին գծեր են:

10:2=5

6:2=3

8:2=4

P=5+3+4=12

2) Ուռուցիկ քառանկյան անկյունագծերը հավասար են 12մ և 16մ: Գտեք այն քառանկյան կողմերը, որի գագաթները տրված քառանկյան կողմերի միջնակետերն են:

12:2=6

16:2=8

P=6+6+8+8=28

3) Նկարում EF-ը միջին գիծ է:Գտնել PBEF և PABC:

10:2=5

p=5+5+4=14

4+4=8

5+5=10

p=10+10+8=28

4) Նկարում MN || AC: Գտնել PMBN և PABC:

P=4+3+3,5=10,5

4+4=8

3,5+3,5=7

3*2=6

P=8+7+6=21

5) Քառանկյան անկյունագծերը հավասար են m-ի և n-ի: Գտեք այն քառանկյան պարագիծը, որի գագաթները տրված քառանկյան կողմերի միջնակետերն են:

m/2  +n/2+  n/2 + m/2= m+n

Զուգահեռագծի հայտանիշները (Տեսական նյութ)

231.

• AO=OD; BO=OC
• < AOB=<DOC 
• ΔBOC=ΔAOD

Պատ.՝ Ըստ 3 հայտանիշի

232. AD = BC AD II BC

Ըստ առաջին հայտանիշի  զուգահեռագիծ է. Եթե քառանկյան երկու կողմերը հավասար են և զուգահեռ, ապա այդ քառանկյունը զուգահեռագիծ է:

233. Ոչ, գուգահեռագիծ չէ

234. Զուգահեռագիծ է, ըստ 1 հայտանիշի

235. DN || AM; NM || DA; MN=AD; AM=DN

Ուստի AMND զուգահեռագիծ է

236. NM || DB; MB || DN; MB=ND

Ուստի ABND զուգահեռագիծ է

Հարցերի քննարկում:

Թեմա՝ ԶուգահեռագիծԱռաջադրանքներ Գ. Աղեկյանի գրքից,215-230:

3+2+4+3=12

360:12=30

30 . 3=90

30 . 2=60

30 . 4=120

30 . 3=90

90, 60, 120, 90

Զուգահեռագիծ

Քանի որ զուգահեռագիծ կոչվում է այն քառանկյունը, որի հանդիպակաց կողմերը զույգ առ զույգ զուգահեռ են:

Ոչ

Պատասխան՝ 

360-180=180

Զուգահեռագիծ է

CD=6, AD=10

36

3 . 2=6

46-6=40

40:4=10

10+3=13

10, 13, 10, 13

360:2=180

180-40=140

40, 140

Քանի որ անկյունները խաչադիր են, ապա <A=<C; <B=<D  հակադիր անկյուններ են:

110+110=220

360-220=140

140:2=70

110, 70, 110, 70

360:2=180

180:3=60

60 . 2=120

60, 120, 60, 120

• 12:2=6
• 17:2=8,5

Պատ.՝ 8.5, 6:

Միջնագիծ է

Քանի որ <A=<C; <B=<D խաչադիր են, ապա <1=<2

360:4:2=45⁰

Հարցերի քննարկում:

Թեմա՝ Զուգահեռագիծ

Տեսական նյութ

Սահամանում 

Զուգահեռագիծ կոչվում է այն քառանկյունը, որի հանդիպակաց կողմերը զույգ առ զույգ զուգահեռ են:

Զուգահեռագիծը ուռուցիկ քառանկյուն է:

Հատկություններ

1) Զուգահեռագծի հանդիպակաց կողմերը հավասար են, և հանդիպակաց անկյունները հավասար են:

2) Զուգահեռագծի անկյունագծերը հատման կետով կիսվում են:

Առաջադրանքներ

1. Զուգահեռագծի պարագիծը 48 սմ է: Գտեք զուգահեռագծի կողմերը, եթե՝

ա) կողմերից մեկը մյուսից մեծ է 3 սմ-ով,

• x+x+x+3+x+3=48
• x+x+x+x=48-3-3
• 4x=42
• X=10.5
• 10.5+3=13.5

բ) կողմերից մեկը երկու անգամ մեծ է մյուսից:

• x+x+x*2+x*2=48
• 4x=48:2:2
• 4x=12
• X=3
• 3*2=6

գ) կից կողմերը հարաբերում են ինչպես 1:3-ի:

• 48:(1+3)=12
• 12*3=36

2. Զուգահեռագծի անկյուններից մեկը 40⁰ է, գտեք մյուս անկյունները:

• 4-1=3
• 360:3=120
• 120-40=80

3. Գտեք զուգահեռագծի անկյունները, եթե դրանցից երկուսի գումարը 100⁰է:

• 360-100=260
• 260:2=130⁰

4. Գտեք ABCD զուգահեռագծի անկյունները, եթե՝

ա) <A=84⁰

• 360-84=276
• 4-1=3
• 276:3=93

բ) <A+<C=142⁰

• 4-2=2
• 360-142=218
• 218:2=109

դ) <A=2 <B:

<MNH=30⁰:

5. Լրացուցիչ:

 Ապացուցեք զուգահեռագծի հատկությունները:

1. Այսինքն, եթե մեկը օրիանկ՝ 90⁰ է, ապա մյուս անկյուններն էլ ե 90⁰
2. Այսինքն քռանկյունը ունի երկու անկյունագիծ, դա նույն կիսորդն է:

Բազմանկյունը կոչվում է քառանկյուն, եթե այն ունի 4 կողմ:

Քառանկյունն ունի 4 կողմ, 4 գագաթ, 4 անկյուն, 2 անկյունագիծ:  Ուռուցիկ քառանկյան անկյունների գումարը հավասար է 360°-ի:

Քառանկյան երկու կողմերը կոչվում են հանդիպակաց, եթե  կից չեն: Քառանկյան երկու գագաթները, եթե հարևան չեն, կոչվում են հանդիպակաց գագաթներ:

Նմանապես  սահմանվում է հանդիպակաց անկյունները:

Քառանկյունները լինում են ուռուցիկ և ոչ ուռուցիկ:

Ուռուցիկ քառանկյան յուրաքանչյուր անկյունագիծ քառանկյունը տրոհում է երկու եռանկյան: 

1. Գծել ուռուցիկ և ոչ ուռուցիկ քառանկյուններ: Նշիր գագաթները: Ցույց տուր ուռուցիկ քառանկյան հանդիպակաց գագաթները, հանդիպակաց կողմերը, հանդիպակաց անկյունները, կից անկյունները: 

• Գագաթ- A, B, C, D
• Հադիպակաց գագաթ- A-ինը C, B-ինը D, C-ինը A, D-ինը B
• Հանդիպակաց կողմերը- A-ինը CB և DC, B-ինը AD և DC, C-ինը AD և AB, D-ինը BA և BC,
• Հանդիպակաց անկյուններ-AB, BC, CD:
• Կից անկյուններ- A-ինը D և B, B-ինը A և C, C-ինը D և B, D-ինը A և C:

2. Գտեք ուռուցիկ քառանկյան անկյունները, եթե նրա երեք անկյունները իրար հավասար են, իսկ չորրորդ անկյունը դրանցից յուրաքանչյուրից փոքր է 40⁰—ով:

• 360+40=400
•  400:4=100⁰
• 100-40=60⁰

Պատ.՝ 100⁰, 100⁰, 100⁰, 60⁰

3. Գտեք քառանկյան կողմերը, եթե նրա պարագիծը 8 սմ է, իսկ կողմերից մեկը մյուս կողմերից մեծ է համապատասխանաբար 3 մմ-ով, 4 մմ-ով և 5 մմ-ով:

• X+x+3+x+4+x+5=80մմ
• X+x+x+x=80-3-4-5
• 4x=68
• X=17մմ
• 17+3=20մմ
• 17+4=21մմ
• 17+5=22մմ

4. Գրեք ուռոցիկ քառանկյան անկյունները, եթե դրանք համեմատական են 1, 2, 4, 5 թվերին:

• 360:(1+2+4+5)=30
• 30*1=30
• 30*2=60
• 30*4=120
• 30*5=150

5. Գտեք ուռուցիկ հնգանկյան անկյունները, եթե դրանք համեմատական են 2, 3, 4, 5, 6, թվերին:

n=5

• (5-2)*180=540
• 540:(2+3+4+5+6)=27
• 27*2=54
• 27*3=81
• 27*4=108
• 27*5=135
• 27*6=162

6. Ուռուցիկ քառանկյան երկու հանդիպակաց անկյունների գումարը 180⁰:Ինչի է հավասար մյուս երկու հանդիպակաց անկյունների գումարը:

360-180=180⁰

7. Ապացուցեք, որ քառանկյան անկյունների գումարը հավասար է 360⁰:

Քառանկյան անկյունների գումարը 360^o է, քանի որ այն բաղկացած է եկու եռանկյուններից, իսկ եռանկյան անկյունների գումրը՝ 180⁰ է: Այստեղից հետևում է.

180+180=360⁰

1. Գծել ուռուցիկ և ոչ ուռուցիկ քառանկյուններ: Նշիր գագաթները: Ցույց տուր ուռուցիկ քառանկյան հանդիպակաց գագաթները,  հանդիպակաց կողմերը, հանդիպակաց անկյունները, կից անկյունները: 

2) Գտեք ուռուցիկ քառանկյան անկյունները, եթե նրա երեք անկյունները իրար հավասար են, իսկ չորրորդ անկյունը դրանցից յուրաքանչյուրից փոքր է 400-ով:

v

• Գտեք քառանկյան կողմերը, եթե նրա պարագիծը 8 սմ է, իսկ կողմերից մեկը մյուս կողմերից մեծ է համապատասխանաբար 3 մմ-ով, 4 մմ-ով և 5 մմ-ով:

x+x+3մմ+x+4մմ+x+5մմ=8սմ

4x=8սմ-12մմ=6սմ 8մմ

x=6սմ 8մմ։4=1սմ 7մմ

• Գրեք ուռոցիկ քառանկյան անկյունները, եթե դրանք համեմատական են 1, 2, 4, 5 թվերին:

5) Գտեք ուռուցիկ հնգանկյան անկյունները, եթե

դրանք համեմատական են 2, 3, 4, 5, 6, թվերին:

6) Ուռուցիկ քառանկյան երկու հանդիպակաց անկյունների գումարը 1800:Ինչի է հավասար մյուս երկու հանդիպակաց անկյունների գումարը:

Էլի 180 աստիճան

7) Ապացուցեք, որ քառանկյան անկյունների գումարը հավասար է 3600:

Եթե վերցնենք հասրակ ուղանկյունը ապա մենք գիտենք որ նրա բոլոր անկյուները իրարա հավասր են։Եվ մենք տեսնում ենք , որ նրա անկյուները 90 աստիճան են։Ապա մենք կհասկանաք որ նրանց գումարը հավասար է 360 ի ։

Բազմանկյուն, ուռուցիկ բազմանկյուն
Ամենապարզ դեպքը եռանկյունն է։
Հաջորդ դեպքը քառանկյունն է։

Տեսական նյութ

Դիտարկենք մի պատկեր, որը կազմված է AB, BC, CD,…, EF, FA հատվածներից այնպես, որ կից հատվածները, այսինքն՝ AB և BC, BC և CD,…, FA և AB հատվածները, չեն գտնվում մի ուղղի վրա, իսկ ոչ կից հատվածները ընդհանուր կետ չունեն: Այսպիսի պատկերը կոչվում է բազմանկյուն:

A, B, C, D, …, E, F կետերը կոչվում են բազմանկյան գագաթներ, իսկ AB, BC, CD,… EF հատվածները՝ կողմեր: Բոլոր կողմերի երկարությունների գումարը կոչվում է բազմանկյան պարագիծ:

n գագաթ ունեցող բազմանկյունն անվանում են n-անկյուն: Այն ունի n կողմ: Բազմանկյան օրինակ է եռանկյունը: 

Իսկ այս պատկերը

բազմանկյուն չէ, քանի որ C1C5 և C2C3(ինչպես նաև C3C4 և C1C5) ոչ կից հատվածներն ունեն ընդհանուր կետ:

Բազմանկյան մի կողմին պատկանող երկու գագաթները կոչվում են հարևան գագաթներ: Երկու ոչ հարևան գագաթները միացնող հատվածը կոչվում է բազմանկյան անկյունագիծ:

Յուրաքանչյուր բազմանկյուն հարթությունը տրոհում է երկու մասի, որոնցից մեկը կոչվում է բազմանկյան ներքին տիրույթ, իսկ մյուսը՝ արտաքին տիրույթ:

Սահամնում  Բազմանկյունը կոչվում է ուռուցիկ, եթե այն ընկած է իր ցանկացած երկու հարևան գագաթներով անցնող ուղղի մի կողմում:

Թեորեմ  Ուռուցիկ n-անկյան անկյունների գումարը (n-2)1800 է:

Ուռուցիկ բազմանկյունը, որի բոլոր կողմերը հավասար են, և բոլոր անկյունները հավասար են, կոչվում է կանոնավոր բազմանկյուն: 

Կանոնավոր բազմանկյան օրինակ է հավասարակողմ եռանկյունը:

Դասի մասին պատումը տեստեսանյութում:

Առաջադրանքներ(դասարանում)

1) Գծագրեք Geogebra ծրագրով ուռուցիկ հնգանկյուն և վեցանկյուն:

Գծեք պատկերների անկյունագծերը, քանի անկյունագիծ ունի յուրաքանչյուր պատկերը: 

2) Գտեք անկյունների գումարը.

ա) ուռուցիկ հնգանկյան,
(n — 2) x 180
n = 5
(5 — 2) x 180 = 540

բ) ուռուցիկ վեցանկյան,
(n — 2) x 180
n = 6
(6 — 2) x 180 = 720

գ) ուռուցիկ տասնակյան:
(n — 2) x 180
n = 10
(10 — 2) x 180 = 1440

3) Գտեք ուռուցիկ քառանկյան անկյունները, եթե դրանք իրար հավասար են:
(n — 2) x 180
n = 4
(4 — 2) x 180 = 360
360 ։ 4 = 90
Պատ․՝ 90

4) Գտեքուռուցիկ վեցանկյան  անկյունները, եթե դրանք  իրար հավասար են:
(n — 2) x 180
n = 6
(6 — 2) x 180 = 720
720 ։ 6 = 120
Պատ․՝ 120

5) Քանի՞ կողմ ունի ուռուցիկ բազմանկյունը, եթե նրա անկյունների գումարը 540 է:

(n — 2) x 180
n = 5
(5 — 2) x 180 = 540

Պատ․՝ Ուռուցիկ բազմանկյունը ունի 3 կողմ

Նոր ծանոթություն, կրկնողություն:

1. Գծիր՝ սուր անկյուն, ուղիղ անկյուն, բութ անկյուն, փռված անկյուն:

2. կից անկյուններ, հակադիր անկյուններ

3. սուրանկյուն եռանկյուն, բութանկյուն եռանկյուն, ուղղանկյուն եռանկյուն

4. զուգահեռ ուղիներ, հատվող ուղիներ: